両方のスピーカーから完全に音が出ない

症状などを見た感じでは、質問者さんが考えている通り別の原因がある可能性が高そうです。ということで、まずはスピーカー以外の部分に原因がないかを確認するのが良いかと思います。

既に確認済みかも知れませんが、ご使用上の注意の19ページに音声が出ない場合のトラブルシューティングがあるので、そちらの内容を確認してみて下さい（必要ないかとは思いますが、各部の名称はクイックリファレンスの8ページ以降で確認できます）。ちなみに（もうご覧になっているかとは思いますが）iFixitにもPSP-3000のトラブルシューティングガイド（英語）がありますが、未訳ですし、今回の場合については「スピーカーを交換しましょう」としか書いてありません。

上記のトラブルシューティングで解決しなかった場合は、まず音声が出力されているかを確認するのが良いかと思います。ヘッドホンや映像出力ケーブルを接続した状態で音声が聞こえるか確認して下さい（念の為接続する前にコネクタ内に異物などがないか確認して、もしあったら取り除いてから上記のトラブルシューティングをもう一回確認してください）。この状態で音声が聞こえるなら、音声は出力されているので問題はスピーカーまでの経路上（スピーカー側）、聞こえないならそもそも音声が出力されていないのでマザーボード側にある、と考えて原因を探ることになります。

どちらの場合でも分解して原因を探すことになりますが、原因がスピーカー側にありそうな場合は、装着していない方のスピーカーの単体テストをしてみるといいかも知れません。単体テストと言っても、適当な乾電池（1本）と適当な電線を用意して、スピーカーの端子に電気を（断続的に）流して音がするかどうか確認するだけの乱暴なもので十分です。スピーカー側の端子の位置などは分からないので、現物を見ながら色々試してみて下さい。安全性的には問題がありますが、乾電池1本分くらいの電圧ならそうそう壊れることもないと思います（無保証）。このテストで音が鳴れば、少なくとも対象のスピーカーに音を鳴らす能力があることだけは保証できるので、原因を絞ることができます。

分解して原因を探す場合ですが、最初にヘッドホン／映像出力ケーブル接続端子付近を確認して下さい。短絡や断線や接点部品の変形などによって、何も接続されていないのにケーブルが接続されていると誤認識されている可能性があります。何か問題があったら対処して症状の確認からやり直して下さい。

また、どちらの場合でもマザーボード上に問題がないかの確認はすることになります。注意して見るべきポイントは異なりますが、問題があれば対処しなければいけないのは一緒なので、どちらの場合でも全体的に確認すればよろしいかと思います。

（マザーボード側ではなく）スピーカー側に問題がありそうな場合ですが、マザーボードを見るときにスピーカー接続ケーブルの接続端子に汚れなどがないかをしっかり確認して下さい。その他スピーカー接続ケーブルの接点やスピーカー自体の接点も確認して下さい。スピーカー接続ケーブルに断線がないかも確認できれば理想的です。

マザーボード側に問題がある場合ですが、マザーボード自体の他、LCDスクリーンのすぐ下にあるホームバー周辺も確認して下さい。ここにはサウンドボタンや音量ーボタンの接点があるので、特に音量ーボタンの固着や短絡が原因になっている可能性が考えられるためです。接点の汚れや変形、パターンの破損などに加えて、筐体側のボタンが固着していないかも確認して下さい。多分ボタンの裏にある導電性ゴムが基板のパターンに押し付けられて導通することでボタン入力を検出する仕組みになっていると思うので、ホームバーの基板の接点部分とボタンの裏を高純度のイソプロピルアルコールなどで掃除してみるといいかも知れません（接点復活剤は使わない方が吉かと思います）。

ちなみに、（もう確認済みかと思いますが）スピーカーを含む交換パーツはiFixitでは欠品が目立ちますが、海外サイトを探すと社外品ではあるものの割と簡単に見つかるようです。ご参考まで。